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Section1.4利率转换

复利的计算通常是以年为计息周期,但实际上计息周期也可能半年、一个季度或一个月甚至是日。当实际计息期不以年为计息期的单位时,就要计算实际计息期的利率,也就是实际利率。

  • 单利计息时,名义利率与实际利率是一致的
  • 复利计息,当一年的计息次数大于1时,名义利率与实际利率则不相等,名义利率是计息周期的利率与一年的计息次数之乘积
  • 名义利率和实际利率皆为年利率

若名义年利率为r ,一年计息次数为n ,那么一个计息周期利率为r n ,一年后本利和F n 为:

F n = P E 1 + r n F n

利息I

I = F n P = P I 1 + r n J n P = P KI 1 + r n J n 1 L

实际利率i

i = I P = C 1 + r n D n 1

名义利率与实际利率的换算公式为

i = C 1 + r n D n 1

式中,n 为一年中的计息期数;i 为实际利率;r 为名义利率。

  • 当n=1时,i=r,即实际利率等于名义利率
  • 当n>1时,i>r,且n越大,即一年中计算复利的有限次数越多,则年实际利率相对于名义利率就越高。

复利计息有间断复利和连续复利之分。如果计息周期为一确定的时间段(如年、季、月),并按复利计息,称为间断计息。如果计息周期缩短,且无限缩短,则称为连续计息。从名义利率与实际利率的换算公式和不同计息周期的年实际利率值表可知,对同一个年利率,一年中的计息次数越多,计息周期越短,其实际利率就越高。对于名义利率 r,若在一年中使计息次数无限多,也就是使计息周期的时间无限小,就可得出连续复利计息的一次性支付计算公式:

i = lim n →∞ GC 1 + r n D n 1 H = lim n →∞ C 1 + r n D n 1 = e r 1

即当n→∞时,按连续复利计算,实际利率为

i = e r 1

式中,e为自然对数的底,其值为2.718 281 8…。

因此,当年利率为12%时,按连续复利计算的实际利率为

i = e 0.12 1 = 12.75%

例如:本金1 000元,若按年利率12%;每年计息一次,一年后的本利和为:

F = 1000 × ( 1 + 12% )= 1120

若按月计息,月利率为12% 12 = 1% ,单利计息,则一年后的本利和为

F = 1000 × ( 1 + 1% × 12 )= 1120

可见,在单利计息条件下的计算结果相等。

若按年利率12%,每月复利计息一次,则一年后本利和为

F 12 = 1000 × A 1 + 12% 12 B 12 = 1126.8

实际年利率i

i = 1126.8 1000 1000 × 100% = 12.68%

这里的12.68%就是实际利率。